Правильно ли мы понимаем умножение?

"- А и Б сидели на трубе. А упало, Б пропало, что осталось на трубе?
- Осталась ваша буква И".

(Из к/ф "Отроки во Вселенной")

Почему при умножении числа на ноль получается ноль?

7 * 0 = 0

Почему при перемножении двух отрицательных чисел получается положительное число?

-7 * (-3) = + 21

Что только не придумывают педагоги, чтобы дать ответы на эти два вопроса.

Но никому не хватает смелости признать, что в формулировке умножения три смысловые ошибки!

Возможны ли ошибки в основах арифметики? Ведь математика позиционирует себя точной наукой...

Школьные учебники математики не дают ответов на эти вопросы, заменяя объяснения набором правил, которые нужно запомнить. Может быть считают эту тему трудной для объяснения в средних классах школы? Попробуем разобраться в этих вопросах.

7 * 3 = 21

7 - множимое. 3 - множитель. 21- произведение.

По официальной формулировке:

• умножить число на другое число - значит сложить столько множимых, сколько предписывает множитель.

По принятой формулировке множитель 3 говорит нам о том, что в правой части равенства должно быть три семерки.

7 * 3 = 7 + 7 + 7 = 21

Но эта формулировка умножения не может объяснить поставленные выше вопросы.

Исправим формулировку умножения

Обычно в математике многое имеют в виду, но об этом не говорят и не записывают.

Имеется в виду знак плюс перед первой семеркой в правой части равенства. Запишем этот плюс.

7 * 3 = + 7 + 7 + 7 = 21

Но к чему прибавляется первая семерка. Имеется в виду, что к нулю, разумеется. Запишем и ноль.

7 * 3 = 0 + 7 + 7 + 7 = 21

А если мы будем умножать на три минус семь?

- 7 * 3 = 0 + (-7) + (-7) + (-7) = - 21

Мы записываем сложение множимого -7, на самом деле мы производим многократное вычитание из нуля. Раскроем скобки.

- 7 * 3 = 0 - 7 - 7 - 7 = - 21

Теперь можно дать уточненную формулировку умножения.

• Умножение - это многократное прибавление к нулю (или вычитание из нуля) множимого (-7) столько раз, сколько указывает множитель. Множитель (3) и его знак (+ или -) указывает количество операций прибавления к нулю или вычитания из нуля.

По этой уточненной и несколько измененной формулировке умножения легко объясняются "правила знаков" при умножении, когда множитель отрицательный.

7 * (-3) - должно быть после нуля три знака "минус" = 0 - (+7) - (+7) - (+7) = - 21

- 7 * (-3) - снова должно быть после нуля три знака "минус" =

= 0 - (-7) - (-7) - (-7) = 0 + 7 + 7 + 7 = + 21

 

Умножение на ноль

7 * 0 = 0 + ... нет операций прибавления к нулю.

Если умножение это прибавление к нулю, а множитель показывает количество операций прибавления к нулю, то множитель ноль показывает, что к нулю ничего не прибавляется. Поэтому и остается ноль.

Итак, в существующей формулировке умножения мы нашли три смысловые ошибки, которые блокируют понимание двух "правил знаков" (когда множитель отрицательный) и умножение числа на ноль.

1. Нужно не складывать множимое, а прибавлять его к нулю.
2. Умножение это не только прибавление к нулю, но и вычитание из нуля.
3. Множитель и его знак показывают не количество слагаемых, а количество знаков плюс или минус при разложении умножения на слагаемые (или вычитаемые).

Несколько уточнив формулировку, нам удалось объяснить правила знаков при умножении и умножение числа на ноль без помощи переместительного закона умножения, без распределительного закона, без привлечения аналогий с числовой прямой, без уравнений, без доказательств от обратного и т.п.

Правила знаков по уточненной формулировке умножения выводятся очень просто.

+7 * (+3) = 0 + (+7) + (+7) + (+7) = +21 (++ = +)

-7 * (+3) = 0 + (-7) + (-7) + (-7) = 0 - 7 - 7 - 7 = -21 (- + = -)

+7 * (-3) = 0 - (+7) - (+7) - (+7) = 0 - 7 - 7 - 7 = -21 (+ - = -)

-7 * (-3) = 0 - (-7) - (-7) - (-7) = 0 + 7 + 7 + 7 = +21 (- - = +)

Множитель и его знак (+3 или -3) указывает на количество знаков "+" или "-" в правой части равенства.

Измененная формулировка умножения соответствует операции возведения числа в степень.

2^3 = 1*2*2*2 = 8

2^2 = 1*2*2 = 4

2^1 = 1*2 = 2

2^0 = 1 (единица ни на что не умножается и не делится, поэтому остается единицей)

2^-1 = 1 : 2 = 1/2

2^-2 = 1 : 2 : 2 = 1/4

2^-3 = 1 : 2 : 2 : 2 = 1/8

Математики согласны, что возведение числа в положительную степень - это многократное умножение единицы. А возведение числа в отрицательную степень - это многократное деление единицы.

Операция умножения должна быть аналогична операции возведения в степень.

2*3 = 0 + 2 + 2 + 2 = 6

2*2 = 0 + 2 + 2 = 4

2*1 = 0 + 2 = 2

2*0 = 0 (к нулю ничего не прибавляется и из нуля ничего не вычитается)

2*-1 = 0 - 2 = -2

2*-2 = 0 - 2 - 2 = -4

2*-3 = 0 - 2 - 2 - 2 = -6

Измененная формулировка умножения ничего не меняет в математике, но возвращает первоначальный смысл операции умножения, объясняет "правила знаков", умножение числа на ноль, согласовывает умножение с возведением в степень.

Проверим, согласуется ли наша формулировка умножения с операцией деления.

15 : 5 = 3 (обратная операция умножения 5 * 3 = 15)

Частное (3) соответствует количеству операций прибавления к нулю (+3) при умножении.

Разделить число 15 на 5 - значит найти, сколько раз нужно вычесть 5 из 15-ти. Делается это последовательным вычитанием до получения нулевого результата.

15 - 5 - 5 - 5 = 0

Чтобы найти результат деления, нужно подсчитать количество знаков "минус". Их три.

15 : 5 = 3 операции вычитания пятерки из 15 до получения нуля.

15 - 5 - 5 - 5 = 0 (деление 15 : 5)

0 + 5 + 5 + 5 = 15 (умножение 5 * 3)

Деление с остатком.

17 - 5 - 5 - 5 - 2 = 0

17 : 5 = 3 и 2 остаток

Если есть деление с остатком, почему нет умножения с придатком?

2 + 5 * 3 = 0 + 2 + 5 + 5 + 5 = 17

 

Смотрим разницу формулировок на калькуляторе

(10 * 3)

Существующая формулировка умножения (три слагаемых).

10 + 10 + 10 = 30

Исправленная формулировка умножения (три операции прибавления к нулю).

0 + 10 = = = 30

(Три раза нажимаем "равняется".)

10 * 3 = 0 + 10 + 10 + 10 = 30

Множитель 3 указывает, что к нулю нужно прибавить множимое 10 три раза.

Попробуйте выполнить умножение (-10) * (-3) путем сложения слагаемого (-10) минус три раза!

(-10) * (-3) = (-10) + (-10) + (-10) = -10 - 10 - 10 = -30 ?

Что значит знак минус у тройки? Может так?

(-10) * (-3) = (-10) - (-10) - (-10) = - 10 + 10 + 10 = 10?

Опс... Не получается разложить произведение на сумму (или разность) слагаемых (-10).

С помощью измененной формулировки это выполняется правильно.

0 - (-10) = = = +30

или

(-10) * (-3) = 0 - (-10) - (-10) - (-10) = 0 + 10 + 10 + 10 = 30

Множитель (-3) указывает, что из нуля нужно вычесть множимое (-10) три раза.

Правила знаков при сложении и вычитании

Выше был показан простой способ вывода правил знаков при умножении, путем изменения смысла формулировки умножения.

Но для вывода мы использовали правила знаков при сложении и вычитании. Они почти такие же, как и для умножения. Создадим визуализацию правил знаков для сложения и вычитания, чтобы и первокласснику было понятно.

Что такое "минус", "отрицательный"?

Ничего отрицательного в природе нет. Нет отрицательной температуры, нет отрицательного направления, нет отрицательной массы, нет отрицательных зарядов... Даже синус по своей природе может быть только положительным.

Но математики придумали отрицательные числа. Для чего? Что означает "минус"?

Минус означает противоположное направление. Левый - правый. Верх - низ. По часовой стрелке - против часовой стрелки. Вперед - назад. Холодно - горячо. Легкий - тяжелый. Медленно - быстро. Если подумать, можно привести много других примеров, где удобно использовать отрицательные значения величин.

В известном нам мире бесконечность начинается с нуля и уходит в плюс бесконечность.

"Минус бесконечности" в реальном мире не существует. Это такая же математическая условность, как и понятие "минус".

Итак, "минус" обозначает противоположное направление: движения, вращения, процесса, умножения, сложения. Проанализируем разные направления при сложении и вычитании положительных и отрицательных (увеличивающихся в другом направлении) чисел.

Сложность понимания правил знаков при сложении и вычитании связана с тем, что обычно эти правила пытаются объяснить на числовой прямой. На числовой прямой смешиваются три разные составляющие, из которых выводятся правила. И из-за смешивания, из-за сваливания разных понятий в одну кучу, создаются трудности понимания.

Для понимания правил, нам нужно разделить:

• первое слагаемое и сумму (они будут на горизонтальной оси);
• второе слагаемое (оно будет на вертикальной оси);
• направление операций сложения и вычитания.

Такое разделение наглядно показано на рисунке. Мысленно представьте, что вертикальная ось может вращаться, накладываясь на горизонтальную ось.

Операция сложения всегда выполняется вращением вертикальной оси по часовой стрелке (знак "плюс"). Операция вычитания всегда выполняется путем вращения вертикальной оси против часовой стрелки (знак "минус").

Пример. Схема в нижнем правом углу.

- 2 - (-3) = +1

Видно, что два рядом стоящих знака минуса (знак операции вычитания и знак числа 3) имеют разный смысл. Первый минус показывает направление вычитания. Второй минус - знак числа на вертикальной оси.

Находим первое слагаемое (-2) на горизонтальной оси. Находим второе слагаемое (-3) на вертикальной оси. Мысленно вращаем вертикальную ось против часовой стрелки до совмещения (-3) с числом (+1) на горизонтальной оси. Число (+1) есть результат сложения.

Операция вычитания

-2 -(-3) = +1

дает такой же результат, как операция сложения на схеме в верхнем правом углу.

-2 + (+3) = +1

Поэтому два рядом стоящих знака "минус" можно заменить одним знаком "плюс".

Мы все привыкли пользоваться готовыми правилами арифметики, не задумываясь об их смысле. Поэтому мы часто даже не замечаем, чем правила знаков при сложении (вычитании) отличаются от правил знаков при умножении (делении). Кажется, они одинаковые? Почти... Незначительная разница видна на следующей иллюстрации.

Теперь у нас есть все необходимое, чтобы вывести правила знаков для умножения. Последовательность вывода следующая.

1. Наглядно показываем, как получаются правила знаков для сложения и вычитания.
2. Вносим смысловые изменения в существующую формулировку умножения.
3. На основе измененной формулировки умножения и правил знаков для сложения выводим правила знаков для умножения.

Примечание.

Ниже написаны правила знаков при сложени и вычитании, полученные из визуализации. И красным цветом, для сравнения, те же правила знаков из учебника математики. Серый плюс в скобках - это плюс-невидимка, который не записывается у положительного числа.

Между слагаемыми всегда два знака: знак операции и знак числа (плюс мы не записываем, но подразумеваем). Правила знаков предписывают замену одной пары знаков на другую пару без изменения результата сложения (вычитания). Фактически, правил всего два.

Правила 1 и 3 (по визуализации) - дублируют правила 4 и 2.. Правила 1 и 3 в школьной интерпретации не совпадают с визуальной схемой, следовательно, они не относятся к правилам знаков при сложении. Это какие-то другие правила...

1. +(+) = -- ......... + (+) = + ???

2. +- = -(+).......... + - = -(+) ok

3. -(+) = +- ......... - (+) = - ???

4. -- = +(+) ......... - - = +(+) ok

Школьное правило 1. (красный цвет) разрешает заменять два плюса подряд одним плюсом. Правило не относится к замене знаков при сложении и вычитании.

Школьное правило 3. (красный цвет) разрешает не записывать знак плюс у положительного числа после операции вычитания. Правило не относится к замене знаков при сложении и вычитании.

Смысл правил знаков при сложении- замена одной ПАРЫ знаков другой ПАРОЙ знаков без изменения результата сложения.

Школьные методисты смешали в одном правиле два правила:

- два правила знаков при сложении и вычитании положительных и отрицательных чисел (замена одной пары знаков другой парой знаков);

- два правила, по которым можно не писать знак "плюс" у положительного числа.

Два разных правила, смешанных в одно, похожи на правила знаков при умножении, где из двух знаков следует третий. Похожи один в один.

Здорово запутали! Ещё раз то же самое, для лучшего распутывания. Выделим красным цветом знаки операций, чтобы отличать их от знаков чисел.

1. Сложение и вычитание. Два правила знаков, по которым взаимозаменяются пары знаков между слагаемыми. Знак операции и знак числа.

++ = -- |||||||||| 2 +(+2) = 2 - (-2)

+- = -+ |||||||||| 2 + (-2) = 2 - (+2)

2. Два правила, по которым знак плюс у положительного числа разрешается не писать. Это правила формы записи. К сложению не относятся. Для положительного числа записывается только знак операции.

-+ = - |||||||||| -(+2) = -2

++ = + |||||||||| +(+2) = +2

3. Четыре правила знаков при умножении. Когда из двух знаков множителей следует третий знак произведения. В правилах знаков для умножения только знаки чисел.

+ * + = + |||||||||| 2 * 2 = 2

+ * - = - |||||||||| 2 * (-2) = -2

- * + = - |||||||||| -2 * 2 = - 2

- * - = + |||||||||| -2 * -2 = 2

 

Теперь, когда мы отделили правила формы записи, должно быть хорошо видно, что правила знаков для сложения и вычитания совсем не похожи на правила знаков при умножении.

В.Козаренко

Почта: support@ mnemonikon. ru

Дата размещения материала на сайте: 10 июля 2015 года